ジェガート・ハンマー

はい可能です。

いいえ、できません。
センターゲート は 自分のゲート に含みません。

いいえ、ルール上カードを セット できない場所では 使用 できません。

手札など、使用 する前は「コスト ２のカード」として扱いますが、使用 する場合は コスト を減らして 使用 できるカードです。
使用 後は再び「コスト ２のカード」として扱います。
《監視官－EIJI》等の「コスト を無くす」とは異なるためご注意ください。

任意で コスト を減らしてもOKですし、あえて コスト を減らさずに 使用 する事も可能です。